都大学了，小学系统才来？ 第364节

　　云清则是一身橙色连衣裙，活泼明艳。

　　两个人坐在一块儿，简直就是一道亮丽的风景线。

　　周围不少男生都在偷偷往她们那边瞄。

　　看见陈林朝自己的方向看过来，云清笑着挥了挥手。

　　动作幅度还挺大。

　　沈妍则是微微一笑。

　　笑容很淡，但很好看。

　　陈林朝她们微微点了点头。

　　然后收回目光。

　　接着他清了清嗓子。

　　教室里渐渐安静下来。

　　所有人的目光都集中在了讲台上。

　　“那我们就开始吧。“

　　陈林拿起一支粉笔。

　　转身面向黑板。

　　“今天要讲的内容，是实分析中的一些经典问题。“

　　“我挑选了几道比较有代表性的题目。“

　　“通过这些题目的讲解，希望能帮助大家更好地理解实分析的核心概念和方法。“

　　说着，他在黑板上写下了第一道题目。

　　【设f是[0，1]上的连续函数，且满足∫??f(x)dx =∫??xf(x)dx = 0。证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)= 0。】

　　写完，陈林转过身来。

　　“这是一道经典的零点存在性问题。“

　　“看起来条件不多，但实际上蕴含了丰富的信息。“

　　他顿了顿。

　　“大家先思考一下。“

　　“这道题应该从哪里入手？“

　　教室里安静了几秒钟。

　　然后就有人开始翻笔记本、翻教材。

　　沙沙的声音此起彼伏。

　　陈林没有急着往下讲。

　　他给学生们留了大概一分钟的思考时间。

　　然后继续说道：

　　“好，我们来分析一下。“

　　他拿起粉笔，在黑板上写了起来。

　　“首先，这道题给了我们两个积分条件。“

　　“第一个条件告诉我们，f在[0，1]上的积分为零。“

　　“第二个条件告诉我们，xf(x)在[0，1]上的积分也为零。“

　　“那么，这两个条件结合起来，能推出什么？“

　　他在黑板上写下推导过程。

　　字迹工整，一笔一划都很清晰。

　　“我们可以定义一个辅助函数。“

　　“令F(x)=∫??f(t)dt。“

　　“根据第一个条件，F(1)= 0。“

　　“又因为F(0)= 0，所以F在[0，1]的两个端点处都是零。“

　　陈林一边写，一边讲解。

　　语速不快不慢。

　　每一步都解释得很清楚。

　　“接下来，我们考虑函数G(x)= xF(x)-∫??tf(t)dt。“

　　“对G(x)求导......“

　　他的粉笔在黑板上飞速移动。

　　一行行公式跃然而出。

　　推导过程流畅得像行云流水。

　　没有任何停顿和犹豫。

　　就好像这些内容早就刻在他脑子里一样。

　　他就像是在抄写一份已经写好的答案。

　　只不过是从脑子里抄到黑板上而已。

　　“......由此可得，G'(ξ)= 0。“

　　陈林在黑板上画了一个圆圈，标注了结论。

　　“而G'(x)= F(x)+ xf(x)- xf(x)= F(x)。“

　　“所以F(ξ)= 0。“

　　“又因为F'(x)= f(x)，由罗尔定理......“

　　他转过身，面向学生们。

　　“存在η∈(0，ξ)，使得F'(η)= f(η)= 0。“

　　“证毕。“

　　教室里安静了两三秒钟。

　　然后响起学生们轻声讨论的声音。

　　“这讲得真清晰啊......“

　　有学生忍不住小声嘀咕。

　　“我之前做这道题的时候，辅助函数死活想不出来。“

　　“原来还可以这么构造......“

　　陈林笑了笑。

　　“这只是第一道题。“

　　“接下来还有几道。“

　　“难度会逐渐递增。“

　　他在黑板上擦掉刚才的内容。

　　然后写下了第二道题。

　　【设{f?}是[0，1]上的连续函数列，且f?一致收敛于f。若对每个n，f?在[0，1]上都没有最大值，证明：f在[0，1]上也没有最大值。】

　　这道题一写出来，台下就有人皱起了眉头。

　　明显比第一道难多了。

　　“这道题考察的是一致收敛的性质。“

　　陈林开口道。

　　“以及'没有最大值'这个条件的深层含义。“

　　“大家想一想，一个连续函数在闭区间上没有最大值，这意味着什么？“

　　他顿了一下。

　　“有人能回答吗？“

　　教室里沉默了几秒钟。

　　然后有一个声音从中间某排传来。

　　“是不是意味着......函数在端点处的值比内部都大？“

　　陈林循声望去。

　　是一个戴眼镜的男生。

　　看起来有点紧张。

　　“不完全对。“

　　陈林摇了摇头。

　　“但思路是对的。“

　　“连续函数在闭区间上一定有最大值，这是魏尔斯特拉斯极值定理。“

　　“所以这里说的'没有最大值'，指的是最大值不在内点取到。“

　　“换句话说，最大值在端点上。“

　　他在黑板上写下：

　　【?x∈(0，1)，f?(x)< max{f?(0)， f?(1)}】

　　“这就是'没有最大值'的准确表述。“